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[數學の日常] 【思維訓練四】微積分(二)

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[LV.9]以壇為家II

國慶70周年紀念刀劍神域|桐人殺戮の天使|艾札克殺戮の天使|瑞吉兒宮崎駿|龍貓1全職獵人|伊耳謎宮崎駿|千尋魔道祖師|金凌歌王|壽嶺二Free|葉月渚野良神|雪音刀劍神域|詩乃刀劍神域|有紀刀劍神域|亞絲娜刀劍亂舞|獅子王歌王|一之瀨時矢

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1#
發表于 2019-10-25 22:16:41 | 只看該作者 回帖獎勵 |倒序瀏覽 |閱讀模式

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為了回答【思維訓練三】的最后一問“探索球的體積公式”,我們來認識一些概念。

一、 極限
我們觀察反比例函數 的圖像:

很容易就能發現這些性質啦!
自變量x的取值范圍(定義域):
因變量y的取值范圍(定義域):
在x軸正半軸,隨著x的增大,函數值y越來越靠近0
在x軸負半軸,隨著x的減小,函數值y越來越靠近0
還記【思維訓練三】中的我們耗費極大工夫說明的那個約定嗎?
一個數被無限平均分后的結果為零,恰好就對應著這個反比例函數的變化趨勢。
由于這是一個客觀事實(上節課我們說明過),而實際上類似這樣,在某個范圍內能夠無限靠近某個數的函數還有很多,比如正切函數的某個周期內的變化情況、指數函數,對數函數的變化情況。
所以,我們將給他賦予一個嚴格的數學概念來描述“這一類”現象。

于是我們有了函數極限的定義(別告訴我你不知道函數是啥o(╯□╰)o):
對函數y=f(x),如果自變量x在它的取值范圍(定義域)內無限增大或縮小,對應的函數值y能無限靠近某個常數,我們就稱常數A是函數自變量趨近于無窮大時候的極限,記作:

無窮大∞,包括了正無窮大(+∞)和負無窮大(-∞),為什么有時候我們可以合并起來寫呢?
實際上,我們的數軸,是一個以無窮遠處為圓心,無窮大為半徑的圓,我們平常觀察的直線,只是數軸的一部分微觀體現,因為這個圓太大,我們局部觀察就變成直線啦!所以從這個角度看,正負無窮大都可以統稱為無窮大<( ̄︶ ̄)↗
但是這個極限的定義不夠精確,因為我們不可能為了判斷一個函數是否有極限或者是極限是多少都去繪制函數的圖像來觀察,所以我們需要將這個定義“量化”,將它轉化成運算,這樣我們判斷一個函數的極限的時候就可以通過算式來推導而避免繪制的麻煩啦。
那么怎么用具體的量來描述函數自變量無限靠近函數極限的動態變化過程捏?
我們觀察x軸正半軸的反比例函數變化情況,在正半軸的定義域[0,+∞]里面(我們找了一個范圍將這個函數“框住”),我們任意選擇一個確定的自變量x1,總還能找到一個比它大的自變量x2,并且根據反比例函數的單調性我們知道f(x1)>f(x2),我們又知道反比例函數無限靠近零,于是函數值f(x1)和零的距離【f(x1)-0=f(x1)】總能夠大于函數值f(x2)與零的距離【f(x2)-0=f(x2)】,由于我們在范圍內任意取值,所以這種情況永遠都存在;即我們任意確定的自變量x1和自變量之后的量x2與零的距離逐步縮小。如果一個函數的在定義域內的某個范圍內能總能滿足這種情況,我們就說無限靠近的那個常數,比如這里的零,是這個函數的極限。于是我們可以這樣定量的描述函數的極限:
設函數f(x)當|x|大于某一正數時有定義,如果存在常數A,對于任意給定的正數epslion,總是存在著正數X,使得當x滿足不等式|x|>X(解這個不等式,我們知道這其實就是那個框柱x的自變量取值范圍-X<x<X)時,對應的函數值f(x)都滿足不等式:
|f(x)-A|<epslion(解這個不等式,我們知道是因變量的取值范圍在極限A附近,即A+epslion<f(x)<A-epslion),那么常數A就叫做函數f(x)當x->∞時候的極限。
我們提煉一下這句話:
自變量:-X<x<X
因變量:A+epslion<f(x)<A-epslion
epslion在數學上表示要多小有多小的正數,我們發現此時我們已經將極限A給“夾逼”出來了。
此外,如果函數在自變量靠近某個值x0的時候有定義(自變量不趨近于無窮大而趨近于某個值的時候),極限值就是函數值f(x0),這沒啥好說的,只是將我們正常的函數值用極限的思維歸納到極限系統里面而已。
到這里,我們就可以引出我們的問題一啦:
【我是可愛的問題組一,選做】
1. 利用極限定義,求證,函數,當x->∞時候的極限是0。(100靈石)
2. 利用極限定義,求證,函數其中|q|<1,當x->∞的時候的極限是0。(100靈石)
3. 利用極限定義,求證,常數的極限是它本身。(100靈石)
4. 探索自然對數的底e的定義,可以參考網上資料,談談你的想法(100靈石)
4. 探索當x->0的時候的極限是1,談談你的想法(100靈石)

5. 證明極限運算法則,和的極限 = 極限的和(100靈石)
6. 證明極限運算法則,差的極限 = 極限的差(100靈石)
7. 證明極限運算法則,積的極限 = 極限的積(100靈石)
8. 證明極限運算法則,商的極限 = 極限的商 其中分母不為零(100靈石)

以上這些極限證明后解題都可以直接用哈,所以我們有了第二題
【我是可愛的問題組二,用上面證明的結論求下面函數的極限】
1. (100靈石)
2. (100靈石)
3. (100靈石)
4. (100靈石)
5. (100靈石)


二、導數
三、積分

停,我這不是變成課本了嘛……我感覺解釋這些概念推導其中的東西實在是太麻煩惹,我們直接進入下一章吧……噗
我感覺概念還是在解題的時候解釋會方便點兒……囧
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[LV.3]偶爾看看II

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發表于 2019-10-30 01:51:22 | 只看該作者
一臉懵逼的我能咋辦。
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[LV.3]偶爾看看II

3#
發表于 2019-11-11 16:52:28 | 只看該作者
完了,想起被數學老師瘋狂嘲諷的恐懼了

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緣妙不可言,哈哈  詳情 回復 發表于 2019-11-11 17:44
你們腫么專門挑這個帖子回復捏,這個帖子我想作廢來著  發表于 2019-11-11 17:42
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[LV.3]偶爾看看II

4#
發表于 2019-11-11 17:44:48 | 只看該作者
淚月心說 發表于 2019-11-11 16:52
完了,想起被數學老師瘋狂嘲諷的恐懼了

緣妙不可言,哈哈
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[LV.5]常住居民I

國慶70周年紀念

5#
發表于 2019-11-12 09:59:09 | 只看該作者
樓主流弊ORZ
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[LV.1]初來乍到

6#
發表于 2019-11-13 11:55:20 | 只看該作者
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[LV.5]常住居民I

國慶70周年紀念

7#
發表于 7 天前 | 只看該作者
學數學數學
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